Деление натуральных чисел столбиком, примеры, решения. Конспект открытого урока математики на тему "Деление с остатком " (5-й класс) Страх близости как бумеранг, который возвращается
Деление натуральных чисел, особенно многозначных, удобно проводить особым методом, который получил название деление столбиком (в столбик) . Также можно встретить название деление уголком . Сразу отметим, что столбиком можно проводить как деление натуральных чисел без остатка , так и деление натуральных чисел с остатком .
В этой статье мы разберемся, как выполняется деление столбиком. Здесь мы поговорим и о правилах записи, и о всех промежуточных вычислениях. Сначала остановимся на делении столбиком многозначного натурального числа на однозначное число. После этого остановимся на случаях, когда и делимое и делитель являются многозначным натуральными числами. Вся теория этой статьи снабжена характерными примерами деления столбиком натуральных чисел с подробными пояснениями хода решения и иллюстрациями.
Навигация по странице.
Правила записи при делении столбиком
Начнем с изучения правил записи делимого, делителя, всех промежуточных выкладок и результатов при делении натуральных чисел столбиком. Сразу скажем, что письменно выполнять деление столбиком удобнее всего на бумаге с клетчатой разлиновкой – так меньше шансов сбиться с нужной строки и столбца.
Сначала в одной строке слева направо записываются делимое и делитель, после чего между записанными числами изображается символ вида . Например, если делимым является число 6 105
, а делителем – 5
5, то их правильная запись при делении в столбик будет такой:
Посмотрите на следующую схему, иллюстрирующую места для записи делимого, делителя, частного, остатка и промежуточных вычислений при делении столбиком.
Из приведенной схемы видно, что искомое частное (или неполное частное при делении с остатком) будет записано ниже делителя под горизонтальной чертой. А промежуточные вычисления будут вестись ниже делимого, и нужно заранее позаботиться о наличии места на странице. При этом следует руководствоваться правилом: чем больше разница в количестве знаков в записях делимого и делителя, тем больше потребуется места. Например, при делении столбиком натурального числа 614 808
на 51 234
(614 808
– шестизначное число, 51 234
– пятизначное число, разница в количестве знаков в записях равна 6−5=1
) для промежуточных вычислений потребуется меньше места, чем при делении чисел 8 058
и 4
(здесь разница в количестве знаков равна 4−1=3
). Для подтверждения своих слов приводим законченные записи деления столбиком этих натуральных чисел:
Теперь можно переходить непосредственно к процессу деления натуральных чисел столбиком.
Деление столбиком натурального числа на однозначное натуральное число, алгоритм деления столбиком
Понятно, что разделить одно однозначное натуральное число на другое достаточно просто, и делить эти числа в столбик нет причин. Однако будет полезно отработать начальные навыки деления столбиком на этих простых примерах.
Пример.
Пусть нам нужно разделить столбиком 8 на 2 .
Решение.
Конечно, мы можем выполнить деление при помощи таблицы умножения , и сразу записать ответ 8:2=4 .
Но нас интересует, как выполнить деление этих чисел столбиком.
Сначала записываем делимое 8
и делитель 2
так, как того требует метод:
Теперь мы начинаем выяснять, сколько раз делитель содержится в делимом. Для этого мы последовательно умножаем делитель на числа 0 , 1 , 2 , 3 , … до того момента, пока в результате не получим число, равное делимому, (либо число большее, чем делимое, если имеет место деление с остатком). Если мы получаем число равное делимому, то сразу записываем его под делимым, а на место частного записываем число, на которое мы умножали делитель. Если же мы получаем число большее, чем делимое, то под делителем записываем число, вычисленное на предпоследнем шаге, а на место неполного частного записываем число, на которое умножался делитель на предпоследнем шаге.
Поехали: 2·0=0
; 2·1=2
; 2·2=4
; 2·3=6
; 2·4=8
. Мы получили число, равное делимому, поэтому записываем его под делимым, а на место частного записываем число 4
. При этом запись примет следующий вид:
Остался завершающий этап деления однозначных натуральных чисел столбиком. Под числом, записанным под делимым, нужно провести горизонтальную черту, и провести вычитание чисел над этой чертой так, как это делается при вычитании натуральных чисел столбиком . Число, получающееся после вычитания, будет остатком от деления. Если оно равно нулю, то исходные числа разделились без остатка.
В нашем примере получаем
Теперь перед нами законченная запись деления столбиком числа 8 на 2 . Мы видим, что частное 8:2 равно 4 (и остаток равен 0 ).
Ответ:
8:2=4 .
Теперь рассмотрим, как осуществляется деление столбиком однозначных натуральных чисел с остатком.
Пример.
Разделим столбиком 7 на 3 .
Решение.
На начальном этапе запись выглядит так:
Начинаем выяснять, сколько раз в делимом содержится делитель. Будем умножать 3
на 0
, 1
, 2
, 3
и т.д. до того момента, пока не получим число равное или большее, чем делимое 7
. Получаем 3·0=0<7
; 3·1=3<7
; 3·2=6<7
; 3·3=9>7
(при необходимости обращайтесь к статье сравнение натуральных чисел). Под делимым записываем число 6
(оно получено на предпоследнем шаге), а на место неполного частного записываем число 2
(на него проводилось умножение на предпоследнем шаге).
Осталось провести вычитание, и деление столбиком однозначных натуральных чисел 7
и 3
будет завершено.
Таким образом, неполное частное равно 2 , и остаток равен 1 .
Ответ:
7:3=2 (ост. 1) .
Теперь можно переходить к делению столбиком многозначных натуральных чисел на однозначные натуральные числа.
Сейчас мы разберем алгоритм деления столбиком . На каждом его этапе мы будем приводить результаты, получающиеся при делении многозначного натурального числа 140 288 на однозначное натуральное число 4 . Этот пример выбран не случайно, так как при его решении мы столкнемся со всеми возможными нюансами, сможем подробно разобрать их.
Сначала мы смотрим на первую слева цифру в записи делимого. Если число, определяемое этой цифрой, больше делителя, то в следующем пункте нам предстоит работать с этим числом. Если же это число меньше, чем делитель, то нам нужно добавить к рассмотрению следующую слева цифру в записи делимого, и работать дальше с числом, определяемым двумя рассматриваемыми цифрами. Для удобства выделим в нашей записи число, с которым мы будем работать.
Первой слева цифрой в записи делимого 140 288
является цифра 1
. Число 1
меньше, чем делитель 4
, поэтому смотрим еще и на следующую слева цифру в записи делимого. При этом видим число 14
, с которым нам и предстоит работать дальше. Выделяем это число в записи делимого.
Следующие пункты со второго по четвертый повторяются циклически, пока деление натуральных чисел столбиком не будет завершено.
Сейчас нам нужно определить, сколько раз делитель содержится в числе, с которым мы работаем (для удобства обозначим это число как x ). Для этого последовательно умножаем делитель на 0 , 1 , 2 , 3 , … до того момента, пока не получим число x или число больше, чем x . Когда получается число x , то мы записываем его под выделенным числом по правилам записи, используемым при вычитании столбиком натуральных чисел. Число, на которое проводилось умножение, записывается на место частного при первом проходе алгоритма (при последующих проходах 2-4 пунктов алгоритма это число записывается правее уже находящихся там чисел). Когда получается число, которое больше числа x , то под выделенным числом записываем число, полученное на предпоследнем шаге, а на место частного (или правее уже находящихся там чисел) записываем число, на которое проводилось умножение на предпоследнем шаге. (Аналогичные действия мы проводили в двух примерах, разобранных выше).
Умножаем делитель 4
на числа 0
, 1
, 2
, …, пока не получим число, которое равно 14
или больше 14
. Имеем 4·0=0<14
, 4·1=4<14
, 4·2=8<14
, 4·3=12<14
, 4·4=16>14
. Так как на последнем шаге мы получили число 16
, которое больше, чем 14
, то под выделенным числом записываем число 12
, которое получилось на предпоследнем шаге, а на место частного записываем число 3
, так как в предпоследнем пункте умножение проводилось именно на него.
На этом этапе из выделенного числа вычитаем столбиком число, расположенное под ним. Под горизонтальной линией записывается результат вычитания. Однако, если результатом вычитания является нуль, то его не нужно записывать (если только вычитание в этом пункте не является самым последним действием, полностью завершающим процесс деления столбиком). Здесь же для своего контроля не лишним будет сравнить результат вычитания с делителем и убедиться, что он меньше делителя. В противном случае где-то была допущена ошибка.
Нам нужно вычесть столбиком из числа 14
число 12
(для корректности записи нужно не забыть поставить знак «минус» слева от вычитаемых чисел). После завершения этого действия под горизонтальной чертой оказалось число 2
. Теперь проверяем свои вычисления, сравнивая полученное число с делителем. Так как число 2
меньше делителя 4
, то можно спокойно переходить к следующему пункту.
Теперь под горизонтальной чертой справа от находящихся там цифр (или справа от места, где мы не стали записывать нуль) записываем цифру, расположенную в том же столбце в записи делимого. Если же в записи делимого в этом столбце нет цифр, то деление столбиком на этом заканчивается. После этого выделяем число, образовавшееся под горизонтальной чертой, принимаем его в качестве рабочего числа, и повторяем с ним со 2 по 4 пункты алгоритма.
Под горизонтальной чертой справа от уже имеющейся там цифры 2
записываем цифру 0
, так как именно цифра 0
находится в записи делимого 140 288
в этом столбце. Таким образом, под горизонтальной чертой образуется число 20
.
Это число 20
мы выделяем, принимаем в качестве рабочего числа, и повторяем с ним действия второго, третьего и четвертого пунктов алгоритма.
Умножаем делитель 4
на 0
, 1
, 2
, …, пока не получим число 20
или число, которое больше, чем 20
. Имеем 4·0=0<20
, 4·1=4<20
, 4·2=8<20
, 4·3=12<20
, 4·4=16<20
, 4·5=20
. Так как мы получили число, равное числу 20
, то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3
записываем число 5
(на него производилось умножение).
Проводим вычитание столбиком. Так как мы вычитаем равные натуральные числа, то в силу свойства вычитания равных натуральных чисел в результате получаем нуль. Нуль мы не записываем (так как это еще не завершающий этап деления столбиком), но запоминаем место, на котором мы его могли записать (для удобства это место мы отметим черным прямоугольником).
Под горизонтальной линией справа от запомненного места записываем цифру 2
, так как именно она находится в записи делимого 140 288
в этом столбце. Таким образом, под горизонтальной чертой мы имеем число 2
.
Число 2
принимаем за рабочее число, отмечаем его, и нам еще раз придется выполнить действия из 2-4
пунктов алгоритма.
Умножаем делитель на 0
, 1
, 2
и так далее, и сравниваем получающиеся числа с отмеченным числом 2
. Имеем 4·0=0<2
, 4·1=4>2
. Следовательно, под отмеченным числом записываем число 0
(оно было получено на предпоследнем шаге), а на месте частного справа от уже имеющегося там числа записываем число 0
(на 0
мы проводили умножение на предпоследнем шаге).
Выполняем вычитание столбиком, получаем число 2
под горизонтальной чертой. Проверяем себя, сравнивая полученное число с делителем 4
. Так как 2<4
, то можно спокойно двигаться дальше.
Под горизонтально чертой справа от числа 2 дописываем цифру 8
(так как она находится в этом столбце в записи делимого 140 288
). Таким образом, под горизонтальной линией оказывается число 28
.
Принимаем это число в качестве рабочего, отмечаем его, и повторяем действия 2-4
пунктов.
Здесь никаких проблем возникнуть не должно, если Вы были внимательны до настоящего момента. Проделав все необходимые действия, получается следующий результат.
Осталось последний раз провести действия из пунктов 2
, 3
, 4
(предоставляем это Вам), после чего получится законченная картина деления натуральных чисел 140 288
и 4
в столбик:
Обратите внимание, что в самой нижней строчке записано число 0 . Если бы это был не последний шаг деления столбиком (то есть, если бы в записи делимого в столбцах справа оставались цифры), то этот нуль мы бы не записывали.
Таким образом, посмотрев на законченную запись деления многозначного натурального числа 140 288 на однозначное натуральное число 4 , мы видим, что частным является число 35 072 , (а остаток от деления равен нулю, он находится в самой нижней строке).
Конечно же, при делении натуральных чисел столбиком Вы не будете настолько подробно описывать все свои действия. Ваши решения будут выглядеть примерно так, как в следующих примерах.
Пример.
Выполните деление в столбик, если делимое равно 7 136 , а делителем является однозначное натуральное число 9 .
Решение.
На первом шаге алгоритма деления натуральных чисел столбиком мы получим запись вида
После выполнения действий из второго, третьего и четвертого пунктов алгоритма запись деления столбиком примет вид
Повторив цикл, будем иметь
Еще один проход дет нам законченную картину деления столбиком натуральных чисел 7 136
и 9
Таким образом, неполное частное равно 792 , а остаток от деления равен 8 .
Ответ:
7 136:9=792 (ост. 8) .
А этот пример демонстрирует, как должно выглядеть деление в столбик.
Пример.
Разделите натуральное число 7 042 035 на однозначное натуральное число 7 .
Решение.
Удобнее всего выполнить деление столбиком.
Ответ:
7 042 035:7=1 006 005 .
Деление столбиком многозначных натуральных чисел
Поспешим Вас обрадовать: если Вы хорошо усвоили алгоритм деления столбиком из предыдущего пункта этой статьи, то Вы уже почти умеете выполнять деление столбиком многозначных натуральных чисел . Это действительно так, так как со 2 по 4 этапы алгоритма остаются неизменными, а в первом пункте появляются лишь незначительные изменения.
На первом этапе деления в столбик многозначных натуральных чисел нужно смотреть не на первую слева цифру в записи делимого, а на такое их количество, сколько знаков содержится в записи делителя. Если число, определяемое этими цифрами, больше делителя, то в следующем пункте нам предстоит работать с этим числом. Если же это число меньше, чем делитель, то нам нужно добавить к рассмотрению следующую слева цифру в записи делимого. После этого выполняются действия, указанные во 2 , 3 и 4 пункте алгоритма до получения конечного результата.
Осталось лишь посмотреть применение алгоритма деления столбиком многозначных натуральных чисел на практике при решении примеров.
Пример.
Выполним деление столбиком многозначных натуральных чисел 5 562 и 206 .
Решение.
Так как в записи делителя 206
участвуют 3
знака, то смотрим на первые 3
цифры слева в записи делимого 5 562
. Эти цифры соответствуют числу 556
. Так как 556
больше, чем делитель 206
, то число 556
принимаем в качестве рабочего, выделяем его, и переходим к следующему этапу алгоритма.
Теперь умножаем делитель 206
на числа 0
, 1
, 2
, 3
, … до того момента, пока не получим число, которое либо равно 556
, либо больше, чем 556
. Имеем (если умножение выполняется сложно, то лучше выполнять умножение натуральных чисел столбиком): 206·0=0<556
, 206·1=206<556
, 206·2=412<556
, 206·3=618>556
. Так как мы получили число, которое больше числа 556
, то под выделенным числом записываем число 412
(оно было получено на предпоследнем шаге), а на место частного записываем число 2
(так как на него проводилось умножение на предпоследнем шаге). Запись деления столбиком принимает следующий вид:
Выполняем вычитание столбиком. Получаем разность 144
, это число меньше делителя, поэтому можно спокойно продолжать выполнение требуемых действий.
Под горизонтальной линией справа от имеющегося там числа записываем цифру 2
, так как она находится в записи делимого 5 562
в этом столбце:
Теперь мы работаем с числом 1 442
, выделяем его, и проходим пункты со второго по четвертый еще раз.
Умножаем делитель 206
на 0
, 1
, 2
, 3
, … до получения числа 1 442
или числа, которое больше, чем 1 442
. Поехали: 206·0=0<1 442
, 206·1=206<1 442
, 206·2=412<1 332
, 206·3=618<1 442
, 206·4=824<1 442
, 206·5=1 030<1 442
, 206·6=1 236<1 442
, 206·7=1 442
. Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442
, а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7
:
Проводим вычитание столбиком, получаем нуль, но сразу его не записываем, а лишь запоминаем его позицию, потому что не знаем, завершается ли на этом деление, или придется еще раз повторять шаги алгоритма:
Теперь мы видим, что под горизонтальную черту правее запомненной позиции мы не можем записать никакого числа, так как в записи делимого в этом столбце нет цифр. Следовательно, на этом деление столбиком закончено, и мы завершаем запись:
- Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
- Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.
Разделы: Математика
Класс: 6
Цели урока
:
1. Образовательные: повторение, обобщение и проверка знаний по теме: «Делимость натуральных чисел »; выработка основных навыков.
2. Развивающие: развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
3. Воспитательные: посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.
Задачи урока:
Формировать умения применять понятие делителей и кратных; развивать мышление и элементы творческой деятельности; применять признаки делимости в простейших ситуациях; нахождение НОД и НОК чисел, развивать наблюдательность и логическое мышление.
Тип урока
– комбинированный.
Форма урока
– урок с компьютерной поддержкой.
Оборудование:
1. Доска и мел.
2. Компьютер и проектор.
3. Бумажный вариант всех заданий.
Ход урока.
Числа правят миром.
Пифагор.
1. Организационный момент.
2. Сообщение цели урока.
3. Актуализация опорных знаний.
1. Что называется делителем числа а
?
2. Что называется кратным числа а
?
3. Существует ли наибольшее кратное число?
4. Сформулировать признаки делимости?
5. Какие числа называются простыми, а какие составными?
(Сообщение учащихся о Пифагоре, о Эратосфене, о Евклиде)
Исторические сведения:
| Евклид – древнегреческий ученый (365 – 300 г до н.э). О жизни этого великого ученого известно очень мало. Он жил и трудился в Александрии, городе, основанном Александром Македонским. С именем Евклида связано много легенд. Одна из них рассказывает, что царь Птолемей спросил Евклида: « Нет ли более короткого пути к познанию геометрии?», - на что ученый ответил: « Нет царской дороги в геометрию!». Евклид много занимался теорией чисел: именно он доказал, что простых чисел бесконечно много. Алгоритм нахождения НОД двух чисел, называется алгоритмом Евклида. Древнегреческий математик Евклид в свой книге « Начала», которая была на протяжении двух тысяч лет основным учебником математики, доказал, что простых чисел бесконечно много, т.е. за каждым простым числом есть еще более простое число. |
| Пифагор (6 век до н.э.) и его ученики изучили вопрос о делимости чисел. Число равное сумме всех его делителей (без самого числа) , они назвали совершенным числом. Например число 6 (6 = 1 + 2 + 3) , 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) совершенные. Следующие совершенные числа 496, 8128, 33550336 Пифагорейцы знали только первые три совершенных числа. Четвертое 8128 стало известно в І веке до н.э. Пятое число 33550336 было найдено в 15 веке. К 1983 г. Было известно уже 27 совершенных чисел. Но до сих пор ученые не знают, есть ли нечетное совершенное число, есть ли самое большое совершенное число. Интерес древних математиков к простым числам связан с тем, что любое натуральное число, больше 1 , либо простое число, либо может быть составлено в виде произведения простых чисел: 14 = 2∙ 7, 16 = 2∙2 ∙2∙2 Возникает вопрос: существует ли последнее (самое большое) простое число? |
Задача: Задумано простое число. Следующее за ним натуральное число тоже простое. О каких числах идет речь?
Ответ: 2,3.
6. Какие числа называются взаимно простыми?
7. Объяснить, как найти НОД (НОК) двух чисел.
(Сообщение учащегося о нахождении НОД двух чисел)
Однажды числа 24 и 60 поспорили о том, как им найти НОД. Число 24 утверждало, что сначала надо найти среди всех делителей общие числа, а потом выбрать из них наибольшее число. А число 60 возражало:
- Ну что ты! Мне такой способ не нравится. У меня слишком много делителей, и при их перечислении я могу пропустить какой-нибудь. А вдруг он окажется наибольшим? Нет мне такой способ не нравится. И решили они обратиться за помощью к магистру ДЕЛЕНЧЕСКИХ наук. И магистр им ответил:
- Да 24, твой способ нахождения НОД чисел можно использовать, но это не всегда удобно. А можно найти НОД по-другому.
Нужно 24 и 60 разложить на простые множители.
| 24 | 2 |
| 12 | 2 |
| 6 | 2 |
| 3 | 3 |
| 1 |
| 60 | 2 |
| 30 | 2 |
| 15 | 3 |
| 5 | 5 |
| 1 |
24 = 2³ ∙ 3
60 = 2² ∙ 3 ∙ 5
Нужно взять общие делители чисел с меньшим показателем степени.
НОД (24;60) = 2² ∙ 3 = 12.
А чтобы найти НОК двух чисел нужно:
- Разложить на простые множители;
- Выписать все простые множители, которые входят в первое число и во второе число с наибольшим показателем степени.
Значит:
24 = 2³ ∙ 3 60 = 2² ∙ 3 ∙ 5 НОК (24;60) = 2³∙ 3 ∙ 5 = 120.
Разделы: Математика
Класс: 5
Тема: Деление с остатком.
Цели урока:
Повторить деление с остатком, вывести правило, как найти делимое при делении с остатком, и записать его в виде буквенного выражения;
- развивать внимание, логическое мышление, математическую речь;
- воспитание культуры речи, усидчивости.
Ход урока
Занятие сопровождается компьютерной презентацией. (Приложение)
I . Организационный момент
II . Устный счет. Сообщение темы урока
Решив примеры и заполнив таблицу, вы сумеете прочитать тему урока.
На доске:
Прочитайте тему урока.
Открыли тетради, записали число, тему урока. (Слайд 1)
III . Работа по теме урока
Решим устно. (Слайд 2)
1. Прочитайте выражения:
30: 5
103: 10
34: 5
60: 7
47: 6
131: 11
42: 6
На какие две группы их можно разделить? Выпишите и решите те, в которых деление с остатком.
2. Проверим. (Слайд 3)
Без остатка: |
С остатком: |
|
30: 5 |
103: 10 = 10 (ост 3) |
Расскажите, как выполняли деление с остатком?
Не всегда одно натуральное число делится на другое число. Но всегда можно выполнить деление с остатком.
Что, значит, разделить с остатком? Чтобы ответить на этот вопрос, решим задачу. (Слайд 4)
В гости к бабушке пришли 4 внука. Бабушка решила угостить внуков конфетами. В вазочке было 23 конфеты. Сколько конфет достанется каждому внуку, если бабушка предложит поделить конфеты поровну?
Давайте рассуждать.
Сколько конфет у бабушки? (23)
Сколько внуков пришло в гости к бабушке? (4)
Что необходимо сделать по условию задачи? (Конфеты нужно разделить поровну, надо разделить 23 на 4; 23 делится на 4 с остатком; в частном получится 5, а в остатке 3.)
Сколько же конфет достанется каждому внуку? (Каждому внуку достанется по 5 конфет, и в вазочке останется 3 конфеты.)
Запишем решение. (Слайд 5)
23: 4=5 (ост 3)
Как называется число, которое делят? (Делимым.)
Что такое делитель? (Число, на которое делят.)
Как называют результат деления с остатком? (Неполное частное.)
Назовите делимое, делитель, неполное частное и остаток в нашем решении (23 - делимое, 4 - делитель, 5 - неполное частное, 3 – остаток.)
Ребята, подумайте и запишите, как найти делимое 23, зная делитель, неполное частное и остаток?
Проверим.
Ребята, давайте сформулируем правило, как найти делимое, если известны делитель, неполное частное и остаток.
Правило. (Слайд 6)
Делимое равно произведению делителя и неполного частного, сложенному с остатком.
а = вс + d , а - делимое, в - делитель, с - неполное частное, d - остаток.
Когда выполняется деление с остатком, что мы должны помнить?
Правильно, остаток всегда меньше делителя.
А если остаток равен нулю, делимое делится на делитель без остатка, нацело.
IV . Закрепление изученного материала
Слайд 7
Найдите делимое, если:
А) неполное частное равно 7, остаток равен 3, а делитель 6.
Б) неполное частное равно 11, остаток равен 1, а делитель 9.
В) неполное частное равно 20, остаток равен 13, а делитель 15.
V . Работа с учебником
1.
Работа над задачей.
2.
Оформление решения задачи.
№ 516 (Задачу решает у доски ученик.)
20 х 10: 18 = 11 (ост 2)
Ответ: 11 деталей по 18 кг можно отлить из 10 болванок, 2 кг чугуна останется.
№ 519 (Рабочая тетрадь, с. 52 №1.)
Слайд 8, 9
Первое задание выполняет ученик у доски. Второе и третье - ученики выполняют самостоятельно с самопроверкой.
Устно решаем задачи. (Слайд 10)
VI . Итог урока
В вашем классе 17 учеников. Вас построили в шеренги. Получилось несколько шеренг из 5 учеников и одна неполная шеренга. Сколько получилось полных шеренг и сколько человек в неполной шеренге?
Ваш класс на уроке физкультуры снова построили в шеренги. На этот раз получилось 4 одинаковых полных шеренг и одна неполная? Сколько человек в каждой шеренге? А в неполной?
Отвечаем на вопросы:
Может ли остаток быть больше делителя? Может ли остаток быть равен делителю?
Как найти делимое по неполному частному, делителю и остатку?
Какие могут быть остатки при делении на 5? Приведите примеры.
Как проверить, верно ли выполнено деление с остатком?
Оксана задумала число. Если это число увеличить в 7 раз и к произведению прибавить 17, то получится 108. Какое число задумала Оксана?
VII . Домашнее задание
Пункт 13, № 537, 538, рабочая тетрадь, с. 42, №4.
Список литературы
1. Математика: Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – 9-е изд., стереотип. – М. : Мнемозина, 2001. – 384 с.: ил.
2. Математика. 5 класс. Рабочая тетрадь №1. натуральные числа / В.Н. Рудницкая. – 7-е изд. – М. : Мнемозина, 2008. – 87 с.: ил.
3. Чесноков А.С., Нешков К.И. Дидактические материалы по математике для 5 класса. – М. : Классикс Стиль, 2007. – 144 с.: ил.
Ко мне неоднократно приходили клиенты, которых волновал один вопрос: почему из раза в раз у них в отношениях повторяется один и тот же сценарий? Вроде поступаешь по-другому, но… всё равно отношения заканчиваются одинаково неудачно. Как в прошлый раз, как в позапрошлый. Спустя 2-3 попытки появляются подозрения, что с тобой что-то не так. Может быть, это та самая несудьба? Я не верю в судьбу или в то, что для кого-то однозначно предначертано быть одиноким. Я верю в то, что отношениям мешают конкретные проблемы в общении. Определим и изменим вредную закономерность.
Проблемные отношения попадаются с широким спектром проблем. Среди них скандалы, взаимные претензии, непонимание, недоступность, недовольство, недоверие, нарциссизм, токсические отношения, психологическое и физическое насилие (абьюз), злоупотребление алкоголем и наркотиками и проч. и проч. В конце концов пара приходит к расставанию. Если такое случается один раз — это авария, несчастный случай. Но что если это становится постоянными «граблями»?
Я не претендую, что я рассмотрю все возможные варианты. Я расскажу о тех, которые попадаются чаще.
Начнем с первых трех:
- страх близости
- привычка
- сценарий Требование/Отдаление
Страх близости как бумеранг, который возвращается
Интимность в отношениях — это эмоциональная близость к партнеру. Разрешение своему внутреннему охраннику расслабиться и опустить оружие. Вы можете открыто делиться своими чувствами и спокойно принимать чувства партнера, в том числе и негативные. Делиться внутренним миром.
Если один человек в паре боится близости, потому что раньше был сильно уязвлен или пережил эмоциональную травму, то он или отвергает близость, или выбирает в партнеры такого же, как он сам.
В этих случаях отношения лишены теплоты и открытости. Второй человек чувствует себя вроде как в паре, но при этом вроде как и в одиночестве. Эмоции — светофор, который показывает, куда ехать, поэтому обсуждение того, что ты чувствуешь, помогает понять поведение другого . Если нет ни того, ни другого, остается только гадать, или … уходить. Неудовлетворенность отношениями либо у одного из пары, либо у обоих, приводит к расставанию.
Что делать?
Интимность не появляется сама по себе из ниоткуда — над ней работают . Некоторым приходится работать больше и дольше, чем другим. Вот примерные направления:
- заведите за правило выражать положительные эмоции по поводу ваших отношений и вашего партнера. Не стоит предполагать, что он и так знает, зачем говорить. Говорить нужно, потому что каждому важно знать из первоисточника, что его ценят, любят и уважают.
- создавайте условия для возможности побыть вдвоем. Кому-то важно поговорить, кому-то прикасаться друг к другу, кому-то — поиграть в шахматы, кто-то любит гулять — на ваш выбор. Чем больше у вас маленьких детей, тем важнее этот пункт.
- научитесь выражать чувства с помощью Я-сообщений. Не говорите: «Почему ты не предупредил меня?!» Скажите так: «Мне так обидно, потому что я хотела узнать об этом первой» .
Привычное поведение, в том числе и в мыслях
Привычка — вторая натура, слышали? Это же касается и того, как мы думаем. Да, да, если много лет подряд думать определенным образом, то разовьется привычный шаблон, который срабатывает первым.
Приведу пример: прошел час, но муж так и не ответил на смс. Какие возможные варианты объяснения, почему?
- «Что если с ним что-то случилось?!»
- «Ему плевать на то, что я пишу!»
- «Я ему интересна меньше, чем то, чем он занимается…»
- «Он наверняка опять с кем-то там весело флиртует!»
- «Он на совещании (в дороге и пр.)»
- «Ответит, когда сможет».
Вы видите, что каждый вариант ведет к конкретным эмоциям, а те, в свою очередь — к действиям?
Один вариант будет для вас более знакомый , чем остальные. Он будет срабатывать быстрее и будет казаться, что он похож на правду. Тем более, что ежедневно мы автоматически делаем привычные действия тысячу раз, так что это становится тысяча первым.
Реагировать по-другому — чувствуется чужеродным и не похожим на правду. Даже если человек понимает, что привычный путь не приводит ни к чему положительному для обеих сторон, он всё равно продолжает выбирать именно этот вариант.
Привычка формируется, если поведение дает вознаграждение, выгоду. Пример: если битье посуды дает кратковременное облегчение от сильных негативных эмоций, велик шанс повтора. Человек швыряет чашки снова и снова, даже если потом стыдится и понимает, что так делать не стоило.
Что делать?
Определить привычные шаблоны: самостоятельно или с помощью психотерапевта. Попробовать понять, задействована ли выгода, и, если да, то какая и что с ней делать. Планомерно работать над выбором конструктивных и устраивающих форм поведения.
Сценарий Требование/Отдаление (Demand/Withdraw)
Есть одна любопытная теория о проблематичном и токсичном сценарии в отношениях (Papp, Kouros, Cummings).
Вкратце, в чем суть: партнеры вовлекаются в диалог по определенным правилам, один играет роль требующего, а второй — отдаляющегося .
Ловушка заключается в том, что чем больше один партнер требует, тем больше отдаляется второй. Заметив это, требующий усиливает претензии и запросы, а отдаляющийся еще сильнее увеличивает дистанцию. Картинка для иллюстрации типична: жена, с поднятыми руками и перекошенным лицом, что-то кричит, а муж, со скрещенными на груди руками и с бетонным выражением лица, смотрит в окно.
Плохая новость заключается в том, что роли в этом сценарии задает тот, кто начинает. Если он в депрессии, то вероятность развития сценария Требование/Отдаление повышается. Неуверенные в себе люди тоже быстро вовлекаются в этот сценарий. Люди с избегающими чертами личности или с избегающим типом привязанности сильнее реагируют по типу «отдаление». Чем больше на них злится их партнер, тем еще большую дистанцию они занимают.
Ещё влияет распределение власти в паре: чем меньше решений принимает один партнер, чем меньше у него возможности участвовать в жизни пары, тем выше вероятность, что он возьмет требующую роль и его требования будут высоки.
Бывает, что сценарий проявляется лишь в определенных темах: привычки, сексуальные предпочтения, взаимные обещания, личность и характер. Иногда проявляется в разговорах о деньгах.
Что делать?
Знать о существовании сценария. Когда он появится, попробуйте остановиться: или перестаньте требовать, или перестаньте отдаляться. Существуют более конструктивные способы взаимодействия.
Составитель преподаватель кафедры высшей математики Ищанов Т.Р.
Занятие №1. Элементы комбинаторики
Теория.
Правило умножения: если из некоторого конечного множества первый объект (элемент ) можно выбрать способами, а второй объект (элемент ) - способами, то оба объекта ( и ) в указанном порядке можно выбрать способами.
Правило сложения: если некоторый объект можно выбрать способами, а объект можно выбрать способами, причем первые и вторые способы не пересекаются, то любой из объектов ( или ) можно выбрать способами.
Практический материал.
1.(6.1.44. Л) Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4 если:
а) цифры не могут повторяться;
б) цифры могут повториться;
в) числа должны быть четными (цифры могут повторяться);
г) число должно делиться на 5 (цифры не могут повторяться)
(Ответ: а) 48 б) 100 в) 60 г) 12)
2. (6.1.2.) Сколько чисел, содержащих не менее трех различных цифр, можно составить из цифр 3, 4, 5, 6, 7? (Ответ: 300.)
3. (6.1.39) Сколько можно составить четырехзначных чисел так, чтобы любые две соседние цифры были различными? (Ответ: 6561)
Теория. Пусть дано множество, состоящее из n различных элементов.
Размещением из n элементов по k элементов (0?k?n) называется любое упорядоченное подмножество данного множества, содержащее k элементов. Два размещения различны, если они отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их следования.
Число размещений из n элементов по k обозначаются символом и вычисляется по формуле:
где n!=1·2·3·…·n ,причем 1!=1,0!=1.
Практический материал.
4. (6.1.9 Л.) Составить различные размещения по два элемента из элементов множества A={3,4,5} и подсчитать их число. (Ответ: 6)
5. (6.1.3 Л) Сколькими способами могут быть распределены три призовых места среди 16 соревнующихся? (Ответ: 3360)
6. (6.1.11. Л) Сколько имеется пятизначных чисел, все цифры у которых различны? Указание: учесть тот факт, что цифры вида 02345, 09782 и т.д. не считаем пятизначными. (Ответ: 27 216)
7. (6.1.12.Л.) Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг (три горизонтальных полосы), если имеется материя 5 различных цветов? (Ответ: 60.)
Теория. Сочетанием из n элементов по k элементов (0?k?n) называется любое подмножество данного множества, которое содержит k элементов.
Любые два сочетания отличаются друг от друга только составом элементов. Число сочетаний из n элементов по k обозначается символом и вычисляется по формуле:
Практический материал.
8.(6.1.20.) Составить различные сочетания по два элемента из элементов множества A={3,4,5} и подсчитать их число. (Ответ: 3.)
9. (6.1.25.) Группа туристов из 12 юношей и 7 девушек выбирает по жребию 5 человек для приготовления ужина. Сколько существует способов при которых в эту «пятерку» попадут:
а) одни девушки; б) 3 юноши и 2 девушки;
в) 1 юноша и 4 девушки; г) 5 юношей; д) туристы одного пола.
(Ответ: а) 21; б) 4620; в) 420; г) 792; д) 813.)
Теория. Перестановкой из n элементов называется размещение из n элементов по n элементов. Таким образом, указать ту или иную перестановку данного множества из n элементов значит выбрать определенный порядок этих элементов. Поэтому любые две перестановки отличаются друг от друга только порядком следования элементов.
Число перестановок из n элементов обозначается символом и вычисляется по формуле:
Практический материал.
10.(6.1.14.Л) Составить различные перестановки из элементов множества A={5;8;9}. (Ответ: 6)
11.(6.1.15.Л) Сколькими способами можно расставить на книжной полке десятитомник произведений Д. Лондона, располагая их:
а) в произвольном порядке;
б) так, чтобы 1, 5, 9 тома стояли рядом (в любом порядке);
в) так, чтобы 1, 2, 3 тома стояли рядом (в любом порядке).
(Ответ: а) 10! б) 8!?3! в) )
12. (1.6.16.Л.) В комнате имеется 7 стульев. Сколькими способами можно разместить на них 7 гостей? 3 гостя? (Ответ: 5040; 210)
Схема выбора с возвращением.
Теория. Если при упорядоченной выборке k элементов из n элементы возвращаются обратно, то полученные выборки представляют собой размещения с повторениями. Число всех размещений с повторениями из n элементов по k обозначается символом и вычисляется по формуле:
Если при выборке k элементов из n элементы возвращаются обратно без последующего упорядочивания (таким образом, одни и те же элементы могут выниматься по нескольку раз, т.е. повторяться), то полученные выборки есть сочетания с повторениями. Число всех сочетаний с повторениями из n элементов по k обозначается символом и вычисляется по формуле:
Практический материал.
13.(6.1.29.) Из элементов (цифр) 2, 4, 5 составить все размещения и сочетания с повторениями по два элемента. (Ответ: 9; 6)
14. (6.1.31.Л.) Пять человек вошли в лифт на 1-м этаже девятиэтажного дома. Сколькими способами пассажиры могут выйти из лифта на нужных этажах? (Ответ: 
)
15. (6.1.59.Л.) В кондитерской имеется 7 видов пирожных. Сколькими способами можно приобрести в ней: а) 3 пирожных одного вида; б) 5 пирожных? (Ответ: а) 7; б) 462)
Теория. Пусть в множестве из n элементов есть k различных типов элементов, при этом 1-й тип элементов повторяется раз, 2-й - раз, . . . , k-й - раз, причем . Тогда перестановки элементов данного множества представляют собой перестановки с повторениями.
Число перестановок с повторениями (иногда говорит о числе разбиений множества) из n элементов обозначается символом и вычисляется по формуле:
Практический материал.
16.(6.1.32.) Сколько различных «слов» (под «словом» понимается любая комбинация букв) можно составить, переставляя буквы в слове АГА? MISSISSIPPI?
Решение.
Вообще из трех букв можно составить различных трехбуквенных «слов». В слове АГА буква А повторяется, а перестановка одинаковых букв не меняет «слова». Поэтому число перестановок с повторениями меньше числа перестановок без повторений во столько раз, сколько можно переставлять повторяющиеся буквы. В данном слове две буквы (1-я и 3-я) повторяются; поэтому различных перестановок трехбуквенных «слов» из букв слова АГА можно составить столько: . Впрочем, ответ можно получить и проще: . По этой же формуле найдем число одиннадцатибуквенных «слов» при перестановке букв в слове MISSISSIPPI. Здесь (4 буквы S), (4 буквы I), , поэтому
17.(6.1.38.Л.) Сколько существует различных перестановок букв в слове ТРАКТАТ? А в «слове» АААУУАУУУУ? (Ответ: 420;210)