Интересные примеры на производную из жизни. Практическое применение производной

ФГОУ СПО

Новосибирский аграрный колледж

Реферат

по дисциплине «математика»

«Применение производной в науке и технике»

С. Раздольное 2008 г.

Введение

1. Теоретическая часть

1.1 Задачи, приводящие к понятию производной

1.2 Определение производной

1.3 Общее правило нахождения производной

1.4 Геометрический смысл производной

1.5 Механический смысл производной

1.6 Производная второго порядка и её механический смысл

1.7 Определение и геометрический смысл дифференциала

2. Исследование функций с помощью производной

Заключение

Литература

Введение

В первой главе моего реферата речь пойдёт о понятии производной, правилах её применения, о геометрическом и физическом смысле производной. Во второй главе моего реферата речь пойдёт о применении производной в науке и технике и о решении задач в этой области.

1. Теоретическая часть

1.1 Задачи, приводящие к понятию производной

При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Её решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления.

Метод дифференциального исчисления был создан в XVII и XVIII вв. С возникновением этого метода связаны имена двух великих математиков – И. Ньютона и Г.В. Лейбница.

Ньютон пришёл к открытию дифференциального исчисления при решении задач о скорости движения материальной точки в данный момент времени (мгновенной скорости).

Как известно, равномерным движением называют такое движение, при котором тело в равные промежутки времени проходит равные по длине отрезки пути. Путь, пройденный телом в единицу времени, называют скоростью равномерного движения.

Однако чаще всего на практике мы имеем дело с неравномерным движением. Автомобиль, едущий по дороге, замедляет движение у переходов и ускоряет его на тех участках, где путь свободен; самолёт снижает скорость при приземлении и т.д. Поэтому чаще всего нам приходится иметь дело с тем, что за равные отрезки времени тело проходит различные по длине отрезки пути. Такое движение называютнеравномерным. Его скорость нельзя охарактеризовать одним числом.

Часто для характеристики неравномерного движения пользуются понятием средней скорости движения за время ∆t٫ которое определяется соотношением где ∆s – путь, пройденный телом за время ∆t.

Так, при свободном падении тела средняя скорость его движения за первые две секунды есть

Практически такая характеристика движения, как средняя скорость, говорит о движении очень мало. Действительно, при 4,9 м/с, а за 2-ю – 14,7 м/с, в то время как средняя скорость за первые две секунды составляет 9,8 м/с. Средняя скорость в течение первых двух секунд не даёт никакого представления о том, как происходило движение: когда тело двигалось быстрее, а когда медленнее. Если же задать средние скорости движения для каждой секунды в отдельности, то мы будем знать, например, что во 2-ю секунду тело двигалось значительно быстрее, чем в 1-ю. Однако в большинстве случаев значительно быстрее, чем нас мало устраивает. Ведь нетрудно понять, что в течение этой 2-й секунды тело также движется по-разному: в начале медленнее, в конце быстрее. А как оно движется где-то в середине этой 2-й секунды? Иными словами, как определить мгновенную скорость?

Пусть движение тела описывается законом Рассмотрим путь, пройденный телом за время от t0до t0 + ∆t, т.е. за время, равное ∆t. В момент t0телом пройден путь, в момент – путь. Поэтому за время ∆t тело прошло путь и средняя скорость движения тела за этот промежуток времени составит.

Чем меньше промежуток времени ∆t, тем точнее можно установить, с какой скоростью движется тело в момент t0, так как движущееся тело не может значительно изменить скорость за малый промежуток времени. Поэтому средняя скорость при стремлении ∆t к нулю приближается к действительной скорости движения и в пределе даёт скорость движения в данный момент времени t0(мгновенную скорость).

Таким образом,

Определение 1. Мгновенная скорость прямолинейного движения тела в данный момент времени t0называется предел средней скорости за время от t0 до t0+ ∆t, когда промежуток времени ∆t стремится к нулю.

Итак, чтобы найти скорость прямолинейного неравномерного движения в данный момент, нужно найти предел отношения приращения пути ∆к приращению времени ∆t при условии т.е. Лейбниц пришёл к открытию дифференциального исчисления при решении задачи о построении касательной к любой кривой, заданной своим уравнением.

Решение этой задачи имеет большое значение. Ведь скорость движущейся точки направлена по касательной к её траектории, поэтому определение скорости снаряда на его траектории, скорости любой планеты на её орбите сводится, к определению направления касательной к кривой.

Определение касательной как прямой, имеющей с кривой только одну общую точку, справедливое для окружности, непригодно для многих других кривых.

Ниже представленное определение касательной к кривой, не только соответствует интуитивному представлению о ней, но и позволяет фактически находить её направление, т.е. вычислять угловой коэффициент касательной.

Определение 2. Касательной к кривой в точке М называется прямая МТ, которая является предельным положением секущей ММ1, когда точка М1, перемещаясь по кривой, неограниченно приближается к точке М.

1.2 Определение производной

Заметим, что при определении касательной к кривой и мгновенной скорости неравномерного движения, по существу, выполняются одни и те же математические операции:

1. Заданному значению аргумента дают приращение и вычисляют новое значение функции, соответствующее новому значению аргумента.

2. Определяют приращение функции, соответствующее выбранному приращению аргумента.

3. Приращение функции делят на приращение аргумента.

4. Вычисляют предел этого отношения при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

К предельным переходам такого типа приводят решения многих задач. Возникают необходимость сделать обобщение и дать название этому предельному переходу.

Скорость изменения функции в зависимости от изменения аргумента можно, очевидно, охарактеризовать отношением. Это отношение называется средней скоростью изменения функции на отрезке от до. Сейчас нужно рассмотреть предел дроби Предел этого отношения при стремлении приращения аргумента к нулю (если этот предел существует) представляет собой некоторую новую функцию от. Эту функцию обозначают символами y’, называют производной данной функции так как она получена (произведена) из функции Сама же функция называется первообразной функцией по отношению к своей производной

Определение 3. Производной функции в данной точке называют предел отношения приращения функции ∆y к соответствующему приращению аргумента ∆x при условии, что ∆x→0, т.е.

1.3 Общее правило нахождения производной

Операцию отыскания производной некоторой функции называют дифференцированием функции, а раздел математики, изучающий свойства этой операции, – дифференциальным исчислением.

Если функция имеет производную в точке x=a, то говорят, что она дифференцируема в этой точке. Если функция имеет производную в каждой точке данного промежутка, то говорят, что она дифференцируема на этом промежутке .

Определение производной не только с исчерпывающей полнотой характеризует понятие скорости изменения функции при изменении аргумента, но и даёт способ фактического вычисления производной данной функции. Для этого необходимо выполнить следующие четыре действия (четыре шага), указанные в самом определении производной:

1. Находят новое значение функции, представив в данную функцию вместо x новое значение аргумента: .

2. Определяют приращение функции, вычитывая данное значение функции из её нового значения: .

3. Составляют отношение приращения функции к приращению аргумента: .

4. Переходят к пределу при и находят производную: .

Вообще говоря, производная – это «новая» функция, произведённая от данной функции по указанному правилу.

1.4 Геометрический смысл производной

Геометрическая интерпретация производной, впервые данная в конце XVII в. Лейбницем, состоит в следующем: значение производной функции в точке x равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в той же точке x, т.е.

Уравнение касательной, как всякой прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, имеет вид – текущие координаты. Но и уравнение касательной запишется так: . Уравнение нормали запишется в виде.

1.5 Механический смысл производной

Механическое истолкование производной было впервые дано И. Ньютоном. Оно заключается в следующем: скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени, т.е. Таким образом, если закон движения материальной точки задан уравнением, то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени нужно найти производную и подставить в неё соответствующее значение t.

1.6 Производная второго порядка и её механический смысл

Получим (уравнение из проделанного в учебнике Лисичкин В.Т. Соловейчик И.Л. «математика» с. 240):

Таким образом, ускорение прямолинейного движения тела в данный момент равно второй производной пути по времени, вычисленной для данного момента. В этом и заключается механический смысл второй производной.

1.7 Определение и геометрический смысл дифференциала

Определение 4. Главная часть приращения функции, линейная относительно приращения функции, линейная относительно приращения независимой переменой, называется дифференциалом функции и обозначается знаком d, т.е. .

Дифференциал функции геометрически изображается приращением ординаты касательной, проведённой в точке M ( x ; y ) при данных значениях x и ∆x.

Вычисление дифференциала – .

Применение дифференциала в приближённых вычислениях – , приближённое значение приращения функции совпадает с её дифференциалом.

Теорема 1. Если дифференцируемая функция возрастает (убывает) в данном интервале, то производная этой функции не отрицательна (не положительна) в этом интервале.

Теорема 2. Если производная функция положительна (отрицательна) в не котором интервале, то функция в этом интервале монотонно возрастает (монотонно убывает).

Сформулируем теперь правило нахождения интервалов монотонности функции

1. Вычисляют производную данной функции.

2. Находят точки, в которых равна нулю или не существует. Эти точки называются критическими для функции

3. Найденными точками область определения функции разбивается на интервалы, на каждом из которых производная сохраняет свой знак. Эти интервалы являются интервалами монотонности.

4. Исследуют знак на каждом из найденных интервалов. Если на рассматриваемом интервале, то на этом интервале возрастает; если же, то на таком интервале убывает.

В зависимости от условий задачи правило нахождения интервалов монотонности может упрощаться.

Определение 5. Точка называется точкой максимума (минимума) функции, если имеет место неравенство соответственно для любого x из не которой окрестности точки.

Если – точка максимума (минимума) функции, то говорят, что (минимум) в точке. Максимум и минимум функции объединяют название экстремум функции, а точки максимума и минимума называют точками экстремума (экстремальными точками).

Теорема 3. (необходимый признак экстремума). Если и производная в этой точке существует, то она равна нулю: .

Теорема 4. (достаточный признак экстремума). Если производная при переходе x через a меняет знак, то a является точкой экстремума функции .

Основные моменты исследования производной:

1. Находят производную.

2. Находят все критические точки из области определения функции.

3. Устанавливают знаки производной функции при переходе через критические точки и выписывают точки экстремума.

4. Вычисляют значения функции в каждой экстремальной точке.

2. Исследование функций с помощью производной

Задача №1 . Объём бревна. Круглым деловым лесом называют брёвна правильной формы без дефектов древесины с относительно небольшой разницей диаметров толстого и тонкого концов. При определении объёмов круглого делового леса обычно применяют упрощённую формулу, где – длина бревна, – площадь его среднего сечения. Выясните, завершается или занижается при этом реальный объём; оцените относительную погрешность.

Решение . Форма круглого делового леса близка к усечённому конусу. Пусть – радиус большего, меньшего конца бревна. Тогда его почти точный объём (объём усеченного конуса) можно, как известно, найти по формуле. Пусть – значение объёма, вычисленное по упрощённой формуле. Тогда;

Т.е. . Значит, упрощённая формула даёт занижение величины объёма. Положим теперь. Тогда. Отсюда видно, что относительная погрешность не зависит от длины бревна, а определяется отношением. Поскольку при возрастает на промежутке . Поэтому, а значит, относительная погрешность не превосходит 3,7%. В практике лесоведения такая погрешность считается вполне допустимой. С большей точностью практически невозможно измерить ни диаметры торцов (ведь они несколько отличаются от кругов), ни длину бревна, поскольку измеряют не высоту, а образующую конуса (длина бревна в десятки раз больше диаметра, и это не приводит к большим погрешностям). Таким образом, на первый взгляд неправильная, но более простая формула для объёма усечённого конуса в реальной ситуации оказывается вполне правомерной. Многократно проводившиеся с помощью специальных методов проверки показали, что при массовом учёте делового леса относительная погрешность при использовании рассматриваемой формулы не превосходит 4%.

Задача №2 . При определении объёмов ям, траншей вёдер и других ёмкостей, имеющих форму усечённого конуса, в с/х практике иногда пользуются упрощённой формулой, где – высота, – площади оснований конуса. Выясните, завышается или занижается при этом реальный объём, оцените относительную погрешность при естественном для практики условии: (– радиусы оснований, .

Решение . Обозначив через истинное значение объёма усечённого конуса, а через значение, вычисленное по упрощённой формуле, получим: , т.е. . Значит, упрощённая формула даёт завышение величины объёма. Повторив далее решение предыдущей задачи, найдём, что относительная погрешность будет не больше 6,7%. Вероятно, такая точность допустима при нормировании землеройных работ – ведь ямы не будут идеальными конусами, да и соответствующие параметры в реальных условиях замеряют весьма грубо.

Задача №3 . В специальной литературе для определения угла β поворота шпинделя фрезерного станка при фрезеровании муфт с зубьями выводится формула, где. Так как эта формула сложна, то рекомендуется отбросить её знаменатель и пользоваться упрощённой формулой. При каких (– целое число,) можно пользоваться этой формулой, если при определении угла допускается погрешность в?

Решение. Точную формулу после несложных тождественных преобразований можно привести к виду. Поэтому при использовании приближённой формулы допускается абсолютная погрешность, где. Исследуем функцию на отрезке . При этом 0,06, т.е. угол принадлежит первой четверти. Имеем: . Заметим, что на рассматриваемом промежутке, а значит, функция на этом промежутке убывает. Поскольку далее, то при всех рассматриваемых. Значит, . Так как радиан, то достаточно решить неравенство. Решая это неравенство подбором, находим, что, . В силу того, что функция убывает, следует, что.

Заключение

Применение производной довольно широко, и его можно полностью охватить в работе такого типа, однако я попытался раскрыть основные базовые моменты. В наше время, в связь с научно-техническим прогрессом, в частности с быстрой эволюцией вычислительных систем, дифференциальное исчисление становиться всё более актуальными в решении как простых, так и сверхсложных задач.

Литература

1. В.А. Петров «Математический анализ в производственных задачках»

2. Соловейчик И.Л., Лисичкин В.Т. «Математика»

ФГОУ СПО

Новосибирский аграрный колледж

Реферат

по дисциплине "математика"

"Применение производной в науке и технике"

С. Раздольное 2008 г.

Введение

1. Теоретическая часть

1.1 Задачи, приводящие к понятию производной

1.2 Определение производной

1.3 Общее правило нахождения производной

1.4 Геометрический смысл производной

1.5 Механический смысл производной

1.6 Производная второго порядка и её механический смысл

1.7 Определение и геометрический смысл дифференциала

2. Исследование функций с помощью производной

Заключение

Литература

Введение

В первой главе моего реферата речь пойдёт о понятии производной, правилах её применения, о геометрическом и физическом смысле производной. Во второй главе моего реферата речь пойдёт о применении производной в науке и технике и о решении задач в этой области.

1. Теоретическая часть

1.1 Задачи, приводящие к понятию производной

При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Её решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления.

Метод дифференциального исчисления был создан в XVII и XVIII вв. С возникновением этого метода связаны имена двух великих математиков – И. Ньютона и Г.В. Лейбница.

Ньютон пришёл к открытию дифференциального исчисления при решении задач о скорости движения материальной точки в данный момент времени (мгновенной скорости).

Как известно, равномерным движением называют такое движение, при котором тело в равные промежутки времени проходит равные по длине отрезки пути. Путь, пройденный телом в единицу времени, называют скоростью равномерного движения.

Однако чаще всего на практике мы имеем дело с неравномерным движением. Автомобиль, едущий по дороге, замедляет движение у переходов и ускоряет его на тех участках, где путь свободен; самолёт снижает скорость при приземлении и т.д. Поэтому чаще всего нам приходится иметь дело с тем, что за равные отрезки времени тело проходит различные по длине отрезки пути. Такое движение называют неравномерным. Его скорость нельзя охарактеризовать одним числом.

Часто для характеристики неравномерного движения пользуются понятием средней скорости движения за время ∆t٫ которое определяется соотношением где ∆s – путь, пройденный телом за время ∆t.

Так, при свободном падении тела средняя скорость его движения за первые две секунды есть

Практически такая характеристика движения, как средняя скорость, говорит о движении очень мало. Действительно, при 4,9 м/с, а за 2-ю – 14,7 м/с, в то время как средняя скорость за первые две секунды составляет 9,8 м/с. Средняя скорость в течение первых двух секунд не даёт никакого представления о том, как происходило движение: когда тело двигалось быстрее, а когда медленнее. Если же задать средние скорости движения для каждой секунды в отдельности, то мы будем знать, например, что во 2-ю секунду тело двигалось значительно быстрее, чем в 1-ю. Однако в большинстве случаев значительно быстрее, чем нас мало устраивает. Ведь нетрудно понять, что в течение этой 2-й секунды тело также движется по-разному: в начале медленнее, в конце быстрее. А как оно движется где-то в середине этой 2-й секунды? Иными словами, как определить мгновенную скорость?

Пусть движение тела описывается законом Рассмотрим путь, пройденный телом за время от t 0 до t 0 + ∆t, т.е. за время, равное ∆t. В момент t 0 телом пройден путь , в момент – путь . Поэтому за время ∆t тело прошло путь и средняя скорость движения тела за этот промежуток времени составит.

Чем меньше промежуток времени ∆t, тем точнее можно установить, с какой скоростью движется тело в момент t 0 , так как движущееся тело не может значительно изменить скорость за малый промежуток времени. Поэтому средняя скорость при стремлении ∆t к нулю приближается к действительной скорости движения и в пределе даёт скорость движения в данный момент времени t 0 (мгновенную скорость).

Таким образом,

Определение 1. Мгновенная скорость прямолинейного движения тела в данный момент времени t 0 называется предел средней скорости за время от t 0 до t 0 + ∆t, когда промежуток времени ∆t стремится к нулю.

Итак, чтобы найти скорость прямолинейного неравномерного движения в данный момент, нужно найти предел отношения приращения пути ∆ к приращению времени ∆t при условии т.е. Лейбниц пришёл к открытию дифференциального исчисления при решении задачи о построении касательной к любой кривой, заданной своим уравнением.

Решение этой задачи имеет большое значение. Ведь скорость движущейся точки направлена по касательной к её траектории, поэтому определение скорости снаряда на его траектории, скорости любой планеты на её орбите сводится, к определению направления касательной к кривой.

Определение касательной как прямой, имеющей с кривой только одну общую точку, справедливое для окружности, непригодно для многих других кривых.

Ниже представленное определение касательной к кривой, не только соответствует интуитивному представлению о ней, но и позволяет фактически находить её направление, т.е. вычислять угловой коэффициент касательной.

Определение 2. Касательной к кривой в точке М называется прямая МТ, которая является предельным положением секущей ММ 1 , когда точка М 1 , перемещаясь по кривой, неограниченно приближается к точке М.

1.2 Определение производной

Заметим, что при определении касательной к кривой и мгновенной скорости неравномерного движения, по существу, выполняются одни и те же математические операции:

1. Заданному значению аргумента дают приращение и вычисляют новое значение функции, соответствующее новому значению аргумента.

2. Определяют приращение функции, соответствующее выбранному приращению аргумента.

3. Приращение функции делят на приращение аргумента.

4. Вычисляют предел этого отношения при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

К предельным переходам такого типа приводят решения многих задач. Возникают необходимость сделать обобщение и дать название этому предельному переходу.

Скорость изменения функции в зависимости от изменения аргумента можно, очевидно, охарактеризовать отношением . Это отношение называется средней скоростью изменения функции на отрезке от до . Сейчас нужно рассмотреть предел дроби Предел этого отношения при стремлении приращения аргумента к нулю (если этот предел существует) представляет собой некоторую новую функцию от . Эту функцию обозначают символами y’, называют производной данной функции так как она получена (произведена) из функции Сама же функция называется первообразной функцией по отношению к своей производной

Определение 3. Производной функции в данной точке называют предел отношения приращения функции ∆y к соответствующему приращению аргумента ∆x при условии, что ∆x→0, т.е.

1.3 Общее правило нахождения производной

Операцию отыскания производной некоторой функции называют дифференцированием функции, а раздел математики, изучающий свойства этой операции, – дифференциальным исчислением.

Если функция имеет производную в точке x=a, то говорят, что она дифференцируема в этой точке. Если функция имеет производную в каждой точке данного промежутка, то говорят, что она дифференцируема на этом промежутке .

Определение производной не только с исчерпывающей полнотой характеризует понятие скорости изменения функции при изменении аргумента, но и даёт способ фактического вычисления производной данной функции. Для этого необходимо выполнить следующие четыре действия (четыре шага), указанные в самом определении производной:

1. Находят новое значение функции, представив в данную функцию вместо x новое значение аргумента : .

2. Определяют приращение функции, вычитывая данное значение функции из её нового значения: .

3. Составляют отношение приращения функции к приращению аргумента: .

4. Переходят к пределу при и находят производную: .

Вообще говоря, производная – это «новая» функция, произведённая от данной функции по указанному правилу.

1.4 Геометрический смысл производной

Геометрическая интерпретация производной, впервые данная в конце XVII в. Лейбницем, состоит в следующем: значение производной функции в точке x равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в той же точке x, т.е.

Уравнение касательной, как всякой прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, имеет вид – текущие координаты. Но и уравнение касательной запишется так: . Уравнение нормали запишется в виде .

1.5 Механический смысл производной

Механическое истолкование производной было впервые дано И. Ньютоном. Оно заключается в следующем: скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени, т.е. Таким образом, если закон движения материальной точки задан уравнением , то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени нужно найти производную и подставить в неё соответствующее значение t.

1.6 Производная второго порядка и её механический смысл

Получим (уравнение из проделанного в учебнике Лисичкин В.Т. Соловейчик И.Л. «математика» с. 240):

Таким образом, ускорение прямолинейного движения тела в данный момент равно второй производной пути по времени, вычисленной для данного момента. В этом и заключается механический смысл второй производной.

1.7 Определение и геометрический смысл дифференциала

Определение 4. Главная часть приращения функции, линейная относительно приращения функции, линейная относительно приращения независимой переменой, называется дифференциалом функции и обозначается знаком d, т.е. .

Дифференциал функции геометрически изображается приращением ординаты касательной, проведённой в точке M ( x ; y ) при данных значениях x и ∆x.

Вычисление дифференциала – .

Применение дифференциала в приближённых вычислениях – , приближённое значение приращения функции совпадает с её дифференциалом.

Теорема 1. Если дифференцируемая функция возрастает (убывает) в данном интервале, то производная этой функции не отрицательна (не положительна) в этом интервале.

Теорема 2. Если производная функция положительна (отрицательна) в не котором интервале, то функция в этом интервале монотонно возрастает (монотонно убывает).

Сформулируем теперь правило нахождения интервалов монотонности функции

1. Вычисляют производную данной функции.

2. Находят точки, в которых равна нулю или не существует. Эти точки называются критическими для функции

3. Найденными точками область определения функции разбивается на интервалы, на каждом из которых производная сохраняет свой знак. Эти интервалы являются интервалами монотонности.

4. Исследуют знак на каждом из найденных интервалов. Если на рассматриваемом интервале , то на этом интервале возрастает; если же , то на таком интервале убывает.

В зависимости от условий задачи правило нахождения интервалов монотонности может упрощаться.

Определение 5. Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если имеет место неравенство соответственно для любого x из не которой окрестности точки .

Если – точка максимума (минимума) функции , то говорят, что (минимум) в точке . Максимум и минимум функции объединяют название экстремум функции, а точки максимума и минимума называют точками экстремума (экстремальными точками).

Теорема 3. (необходимый признак экстремума). Если и производная в этой точке существует, то она равна нулю: .

Теорема 4. (достаточный признак экстремума). Если производная при переходе x через a меняет знак, то a является точкой экстремума функции .

Основные моменты исследования производной:

1. Находят производную .

2. Находят все критические точки из области определения функции.

3. Устанавливают знаки производной функции при переходе через критические точки и выписывают точки экстремума.

4. Вычисляют значения функции в каждой экстремальной точке.

2. Исследование функций с помощью производной

Задача №1 . Объём бревна. Круглым деловым лесом называют брёвна правильной формы без дефектов древесины с относительно небольшой разницей диаметров толстого и тонкого концов. При определении объёмов круглого делового леса обычно применяют упрощённую формулу , где – длина бревна, – площадь его среднего сечения. Выясните, завершается или занижается при этом реальный объём; оцените относительную погрешность.

Решение . Форма круглого делового леса близка к усечённому конусу. Пусть – радиус большего, меньшего конца бревна. Тогда его почти точный объём (объём усеченного конуса) можно, как известно, найти по формуле . Пусть – значение объёма, вычисленное по упрощённой формуле. Тогда ;

Т.е. . Значит, упрощённая формула даёт занижение величины объёма. Положим теперь . Тогда . Отсюда видно, что относительная погрешность не зависит от длины бревна, а определяется отношением . Поскольку при возрастает на промежутке . Поэтому , а значит, относительная погрешность не превосходит 3,7%. В практике лесоведения такая погрешность считается вполне допустимой. С большей точностью практически невозможно измерить ни диаметры торцов (ведь они несколько отличаются от кругов), ни длину бревна, поскольку измеряют не высоту, а образующую конуса (длина бревна в десятки раз больше диаметра, и это не приводит к большим погрешностям). Таким образом, на первый взгляд неправильная, но более простая формула для объёма усечённого конуса в реальной ситуации оказывается вполне правомерной. Многократно проводившиеся с помощью специальных методов проверки показали, что при массовом учёте делового леса относительная погрешность при использовании рассматриваемой формулы не превосходит 4%.

Задача №2 . При определении объёмов ям, траншей вёдер и других ёмкостей, имеющих форму усечённого конуса, в с/х практике иногда пользуются упрощённой формулой , где – высота, – площади оснований конуса. Выясните, завышается или занижается при этом реальный объём, оцените относительную погрешность при естественном для практики условии: ( – радиусы оснований, .

Решение . Обозначив через истинное значение объёма усечённого конуса, а через значение, вычисленное по упрощённой формуле, получим: , т.е. . Значит, упрощённая формула даёт завышение величины объёма. Повторив далее решение предыдущей задачи, найдём, что относительная погрешность будет не больше 6,7%. Вероятно, такая точность допустима при нормировании землеройных работ – ведь ямы не будут идеальными конусами, да и соответствующие параметры в реальных условиях замеряют весьма грубо.

Задача №3 . В специальной литературе для определения угла β поворота шпинделя фрезерного станка при фрезеровании муфт с зубьями выводится формула , где . Так как эта формула сложна, то рекомендуется отбросить её знаменатель и пользоваться упрощённой формулой . При каких ( – целое число, ) можно пользоваться этой формулой, если при определении угла допускается погрешность в ?

Решение. Точную формулу после несложных тождественных преобразований можно привести к виду . Поэтому при использовании приближённой формулы допускается абсолютная погрешность , где . Исследуем функцию на отрезке . При этом 0,06, т.е. угол принадлежит первой четверти. Имеем: . Заметим, что на рассматриваемом промежутке, а значит, функция на этом промежутке убывает. Поскольку далее , то при всех рассматриваемых . Значит, . Так как радиан, то достаточно решить неравенство . Решая это неравенство подбором, находим, что , . В силу того, что функция убывает, следует, что .

Заключение

Применение производной довольно широко, и его можно полностью охватить в работе такого типа, однако я попытался раскрыть основные базовые моменты. В наше время, в связь с научно-техническим прогрессом, в частности с быстрой эволюцией вычислительных систем, дифференциальное исчисление становиться всё более актуальными в решении как простых, так и сверхсложных задач.

Литература

1. В.А. Петров «Математический анализ в производственных задачках»

2. Соловейчик И.Л., Лисичкин В.Т. «Математика»

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока: интегрированный.

Цель урока: изучить некоторые аспекты применения производной в различных областях физики, химии, биологии.

Задачи: расширение кругозора и познавательной деятельности учащихся, развитие логического мышления и умения применять свои знания.

Техническое обеспечение: интерактивная доска; компьютер и диск.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

II. Постановка цели урока

– Урок хотелось бы провести под девизом Крылова Алексея Николаевича советского математика и кораблестроителя: «Теория без практики мертва или бесполезна, практика без теории невозможна или пагубна».

– Повторим основные понятия и ответим на вопросы:

– Скажите основное определение производной?
– Что вы знаете о производной (свойства, теоремы)?
– Знаете ли вы какие-нибудь примеры задач с применением производной в физике, математике и биологии?

Рассмотрение основного определения производной и его обоснование (ответ на первый вопрос):

Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Умение решать задачи с применением производной требует хорошего знания теоретического материала, умения проводить исследование различных ситуаций.

Поэтому сегодня на уроке мы закрепим и систематизируем полученные знания, рассмотрим и оценим работу каждой группы и на примере некоторых задач покажем, как при помощи производной решать другие задачи и нестандартные задачи с применением производной.

III. Объяснение нового материала

1. Мгновенная мощность есть производная работы по времени:

W = lim ΔA/Δt ΔA – изменение работы.

2. Если тело вращается вокруг оси, то угол поворота есть функция времени t
Тогда угловая скорость равна:

W = lim Δφ/Δt = φ׳(t) Δt → 0

3. Сила тока есть производная Ι = lim Δg/Δt = g′, где g – положительный электрический заряд переносимый через сечение проводника за время Δt.

4. Пусть ΔQ – количество теплоты, необходимое для изменения температуры за Δt времени, тогда lim ΔQ/Δt = Q′ = C – удельная теплоёмкость.

5. Задача о скорости течения химической реакции

m(t) – m(t0) – количество вещества, вступающее в реакцию от времени t0 до t

V= lim Δm/Δt = m Δt → 0

6. Пусть m – масса радиоактивного вещества. Скорость радиоактивного распада: V = lim Δm/Δt = m׳(t) Δt→0

В дифференцированной форме закон радиоактивного распада имеет вид: dN/dt = – λN, где N – число ядер не распавшихся время t.

Интегрируя это выражение, получаем: dN/N = – λdt ∫dN/N = – λ∫dt lnN = – λt + c, c = const при t = 0 числорадиоактивных ядер N = N0 , отсюда имеем: ln N0 = const, следовательно

n N = – λt + ln N0.

Потенциируя это выражение получаем:

–закон радиоактивного распада, где N0 – число ядер в момент времени t0 = 0, N – число ядер, не распавшихся за время t.

7. Согласно уравнению теплообмена Ньютона скорость потока теплоты dQ/dt прямо пропорциональна площади окна S и разности температур ΔT между внутренним и внешним стёклами и обратно пропорциональна его толщине d:

dQ/dt =A S/d ΔT

8. Явлением Диффузии называется процесс установления равновесного распределения

Внутри фаз концентрации. Диффузия идёт в сторону, выравнивая концентрации.

m = D Δc/Δx c – концентрация
m = D c׳x x – координата, D – коэффициент диффузии

Закон Фика:

9. Было известно, что электрическое поле возбуждает либо электрические заряды, либо магнитное поле, которое имеет единственный источник – электрический ток. Джеймс Кларк Максвелл ввёл одну поправку в открытые до него законы электромагнетизма: магнитное поле возникает также и при изменении электрического поля. Маленькая на первый взгляд поправка имела грандиозные последствия: появилась пусть пока и на кончике пера, совершенно новый физический объект – электромагнитная волна. Максвелл виртуозно владел, в отличии от Фарадея, которому казалось возможным её существование, вывел уравнение для электрического поля:

∂E/∂x = M∂B/Mo ∂t Mo = const t

Изменение электрического поля вызывает появление магнитного поля в любой точке пространства, другими словами, скорость изменения электрического поля определяет величину магнитного поля. Под большим электрическим током – большее магнитное поле.

IV. Закрепление изученного

– Мы с вами изучали производную и её свойства. Хотелось бы прочитать философское высказывание Гильберта: «У каждого человека есть определённый кругозор. Когда этот кругозор сужается до бесконечного малого, то он обращается в точку. Тогда человек и говорит что это и есть его точка зрения.»
Давайте попробуем измерить точку зрения на применении производной!

Сюжет «Листик» (применение производной в биологии, физике, жизни)

Рассмотрим падение как неравномерное движение зависящее от времени.

Итак: S = S(t) V = S′(t) = x′(t), a = V′(t) = S″(t)

(Теоретический опрос: механический смысл производной).

1. Решение задач

Решите самостоятельно задачи.

2. F = ma F = mV′ F = mS″

Запишем II закон Портона, и учитывая механический смысл производной перепишем его в виде: F = mV′ F = mS″

Сюжет «Волки, Суслики»

Вернёмся к уравнениям: Рассмотрим дифференциальные уравнения показательного роста и убывания: F = ma F = mV" F = mS""
Решение многих задач физики, технической биологии и социальных наук сводятся к задаче нахождения функций f"(x) = kf(x), удовлетворяющих дифференциальному уравнению, где k = const .

Формула Человека

Человек во столько раз больше атома, во сколько раз он меньше звезды:

Отсюда следует, что
Это и есть формула, определяющая место человека во вселенной. В соответствии с ней размеры человека представляют среднее пропорциональное звезды и атома.

Закончить урок хотелось бы словами Лобачевского: «Нет ни одной области математики, как бы абстрактна она ни была, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира».

V . Решение номеров из сборника:

Самостоятельное решение задач на доске, коллективный разбор решений задач:

№ 1 Найти скорость движения материальной точки в конце 3-й секунды, если движение точки задано уравнением s = t^2 –11t + 30.

№ 2 Точка движется прямолинейно по закону s = 6t – t^2. В какой момент ее скорость окажется равной нулю?

№ 3 Два тела движутся прямолинейно: одно по закону s = t^3 – t^2 – 27t, другое - по закону s = t^2 + 1. Определить момент, когда скорости этих тел окажутся равными.

№ 4 Для машины, движущейся со скоростью 30 м/с, тормозной путь определяется формулой s(t) =30t-16t^2, где s(t) – путь в метрах, t – время торможения в секундах. В течении какого времени осуществляется торможение до полной остановки машины? Какое расстояние пройдет машина с начала торможения до полной ее остановки?

№5 Тело массой 8 кг движется прямолинейно по закону s = 2t^2+ 3t – 1. Найти кинетическую энергию тела (mv^2/2) через 3 секунды после начала движения.

Решение : Найдем скорость движения тела в любой момент времени:
V = ds / dt = 4t + 3
Вычислим скорость тела в момент времени t = 3:
V t=3 = 4 * 3 + 3=15 (м/с).
Определим кинетическую энергию тела в момент времени t = 3:
mv2/2 = 8 – 15^2 /2 = 900 (Дж).

№6 Найти кинетическую энергию тела через 4 с после начала движения, если его масса равна 25 кг, а закон движения имеет вид s = Зt^2- 1.

№7 Тело, масса которого 30 кг, движется прямолинейно по закону s = 4t^2 + t. Доказать, что движение тела происходит под действием постоянной силы.
Решение : Имеем s" = 8t + 1, s" = 8. Следовательно, a(t) = 8 (м/с^2), т. е. при данном законе движения тело движется с постоянным ускорением 8 м/с^2. Далее, так как масса тела постоянна (30 кг), то по второму закону Ньютона действующая на него сила F = ma = 30 * 8 = 240 (H) – также постоянная величина.

№8 Тело массой 3 кг движется прямолинейно по закону s(t) = t^3 – 3t^2 + 2. Найти силу, действующую на тело в момент времени t = 4с.

№9 Материальная точка движется по закону s = 2t^3 – 6t^2 + 4t. Найти ее ускорение в конце 3-й секунды.

VI . Применение производной в математике:

Производная в математике показывает числовое выражение степени изменений величины, находящейся в одной и тоже точке, под влиянием различных условий.

Формула производной встречается нам ещё в 15 веке. Великий итальянский математик Тартальи, рассматривая и развивая вопрос – на сколько зависит дальность полёта снаряда от наклона орудия – применяет её в своих трудах.

Формула производной часто встречается в работах известных математиков 17 века. Её применяют Ньютон и Лейбниц.

Посвящает целый трактат о роли производной в математике известный учёный Галилео Галилей. Затем производная и различные изложения с её применением стали встречаться в работах Декарта, французского математика Роберваля и англичанина Грегори. Большой вклад по изучению производной внесли такие умы, как Лопиталь, Бернулли, Лангранж и др.

1. Построить график и исследовать функцию:

Решение данной задачи:

Минутка релаксации

VII . Применение производной в физике:

При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Её решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления.

Метод дифференциального исчисления был создан в XVII и XVIII вв. С возникновением этого метода связаны имена двух великих математиков – И. Ньютона и Г.В. Лейбница.

Ньютон пришёл к открытию дифференциального исчисления при решении задач о скорости движения материальной точки в данный момент времени (мгновенной скорости).

В физике производная применяется в основном для вычисления наибольших или наименьших значений каких-либо величин.

Решение задач:

№1 Потенциальная энергия U поля частицы, в котором находится другая, точно такая же частица имеет вид: U = a/r 2 – b/r , где a и b - положительные постоянные, r - расстояние между частицами. Найти: а) значение r0 соответствующее равновесному положению частицы; б) выяснить устойчиво ли это положение; в) Fmax значение силы притяжения; г) изобразить примерные графики зависимости U(r) и F(r) .

Решение данной задачи: Для определения r0 соответствующего равновесному положению частицы исследуем f = U(r) на экстремум.

Используя связь между потенциальной энергией поля

U и F , тогда F = – dU/dr , получим F = – dU/dr = – (2a/r3+ b/r2) = 0; при этом r = r0 ; 2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b ; Устойчивое или неустойчивое равновесие определим по знаку второй производной:
d2U/dr02= dF/dr0 = – 6a/r02 + 2b/r03 = – 6a/(2a/b)4 + 2b/(2a/b)3 = (– b4/8a3) < 0 ;
равновесие устойчивое.

Для определения Fmax притяжения исследую на экстремумы функцию:F = 2a/r3 - b/r2 ;
dF/dr = –6a/r4 + 2b/ r3 = 0 ; при r = r1 = 3a/b ; подставляя, получу Fmax = 2a/r31 - b/r31 = – b3/27a2 ; U(r) = 0 ; при r = a/b ; U(r)min при r = 2, a/b = r0 ;F = 0; F(r)max при r = r1 = 3a/b ;
Ответ: F(r)max при r = r1 = 3a/b ;

№2 Цепь с внешним сопротивлением R = 0,9 Ом питается от батареи из k = 36 одинаковых источников, каждый из которых имеет ЭДС E=2 В и внутреннее сопротивление r0 = 0,4 Ом . Батарея включает n групп, соединенных параллельно, а в каждой из них содержится m последовательно соединенных аккумуляторов. При каких значениях m , n будет получена максимальная J во внешнем R.

Решение данной задачи:

При последовательном соединении аккумуляторов Eгр = m* E; rгр = r0*m ;
а при параллельном соединении одинаковых rбат = r0m/n; Eбат = m* E,
По закону Ома J = m E/(R+ r0m/n) = m En/(nR + r0m)
Т.к. k – общее число аккумуляторов, то k = mn ;
J = k E/(nR + r0m) = k E/(nR + kr0/n) ;
Для нахождения условия при котором J тока в цепи максимальная исследую функцию J = J(n) на экстремум взяв производную по n и приравняв ее к нулю.
J’n – (k E(R - kr0/n2))/ (nR + kr0/n)2 = 0;
n2 = kr/R
n = √kr/R = √3,6*0,4/0,9 = 4 ;
m = k/n = 36/4 = 9 ;
при этом Jmax = k E/(nR + mr0) = 36*2/(4*0,9 + 9*0,4) = 10 А ;

Ответ: n = 4, m = 9 .

№3 Платформа массой М начинает двигаться вправо под действием постоянной силы F . Из неподвижного бункера на нее высыпается песок. Скорость погрузки постоянна и равна µ кг/с. Пренебрегая трением, найти зависимость от времени ускорения а платформы в процессе погрузки. Определить ускорение а1 платформы в случае, если песок не насыпается на платформу, а из наполненной высыпается через отверстие в ее дне с постоянной скоростью µ кг/с.

Решение данной задачи: Рассмотрим сначала случай, когда песок насыпается на платформу
Движение системы платформа – песок можно описать с помощью второго закона Ньютона:
dP/dt = FΣ
P – импульс системы платформа – песок, FΣ – сила, действующая на систему платформа – песок.
Если через p обозначить импульс платформы, то можно написать:dp/dt = F
Найдем изменение импульса платформы за бесконечно малый промежуток времени Δt : Δp = (M + µ(t + Δt))(u + Δu) – (M + µt)u = F Δt;
где u – скорость платформы.
Раскрыв скобки и, проведя сокращения получаем:
Dp = µu Δt + M Δu+ Δµut + Δµu Δt = F Δt
Разделим на Δt и перейдем к пределу Δt → 0
Mdu/dt + µtdu/dt + µu= F или d[(M + µt)u]/dt = F
Это уравнение можно проинтегрировать, считая начальную скорость платформы равной нулю: (M + µt)u = Ft.
Следовательно: u = Ft/(M + µt)
Тогда, ускорение платформы: a = du/dt = (F(M + µt) – Ftµ)/(M + µt) 2 = FM / (M + µt) 2

Рассмотрим случай, когда песок высыпается из наполненной платформы.
Изменение импульса за малый промежуток времени:
Δp = (M – µ(t + Δt))(u+ Δu) + Δµtu – (M – µt)u = F Δt
Слагаемое Δµtu есть импульс количества песка, которое высыпалось из платформы за время Δt. Тогда:
Δp = M Δu – µt Δu – Δµt Δu = F Δt
Разделим на Δt и перейдем к пределу Δt → 0
(M – µt)du/dt = F
Или a1= du/dt= F/(M – µt)

Ответ: a = FM / (M + µt) 2 , a1= F/(M – µt)

VIII. Самостоятельная работа:

Найти производные функций:

Прямая у = 2х является касательной к функции: у = х 3 + 5х 2 + 9х + 3. Найдите абсциссу точки касания.

IX . Подведение итогов урока:

– Каким вопросам был посвящен урок?
– Чему научились на уроке?
– Какие теоретические факты обобщались на уроке?
– Какие рассмотренные задачи оказались наиболее сложными? Почему?

Список литературы:

1. Амелькин В.В., Садовский А.П. Математические модели и дифференциальные уравнения. – Минск: Высшая школа, 1982. – 272с.
2. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1987. – 160с.
3. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. – Минск: Наука и техника, 1979. – 744с
4. .Журнал «Потенциал» Ноябрь 2007 №11
5. «Алгебра и начала анализа» 11 класс С.М. Никольский, М.К. Потапов и др.
6. «Алгебра и математический анализ» Н.Я. Виленкин и др.
7. «Математика» В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик, 1991 год